字符串匹配（String matching）

字符串匹配就是给定两个字符串 T 和 P， 看T是否完全包含P。 比如 T = abcdeff, P = abce，则P不匹配T，如果P = eff，则P匹配T。

非常原始的做法就是从T的第一个字母开始和P进行比较，如果达到P的最后一个字母仍旧是相同的，那么就成立，否则，从T的第二个字母有开始比较；直到T的最后一个字母。这种做法复杂度为O(nm). n 是T的长度， m是P的长度。

本文文章介绍KMP算法，它的复杂度为 O(n).

KMP算法的原理是从两个字符串的第一个字母开始比较，如果遇到字母不匹配，我们保持T字符串的下标不改变，而是把P字符串的下标移到一个“合适”的位置，然后一直这样操作，直到T字符串遍历完毕。

那么，当不匹配产生时，如何才能找到P字符串的“合适”的位置呢？所谓合适，是指有一个最大值 j 使得 P[1..j]=T[i-j+1..i].我们用X[m] 来保存应该回到的位置 j， 而这里的 i 是指 “指针” 指到的T字符串的当前运行位置。以下程序生成X[m]：

public int[] prefix(String P) {
    m = length[P]
    X[1] = 0
    k = 0
    for q = 2 to m
        while (k > 0 && P[k+1] != P[q])
              k = X[k];
        if (P[k+1] == P[q])
              k = k + 1;
        X[q] = k;
    return X
}

有了X[m], 当我们遇到不匹配的时候，对于P字符串，我们就不用再从开始做起，而是退回到一个“合适”的位置，而对于T字符串，根本就不用回退。所以，这个算法是：

public void KMP(T, P) {
    n = length(T)
    m = length(P)
    q = 0
    for i = 1 to n {
        while (q > 0 && P[q+1] != T[i]) {
            q = X[q]
        }
        if (P[q+1] == T[i]) {
            q = q + 1
        }
        if (q == m) {
            Print("pattern occurs with shift"+ i-m)
            q = X[q]
        } 
     }
}

现在我们再对它的复杂度进行分析。 这里的分析利用了 amortized analysis. 具体如下：

在整个for 循环里，一共执行了n次，由于 第一个while 语句 和第一个 if语句是不可同时成立的，而每一次执行while语句，都会使得q变小。而q最大不可能超过n。也就是是说，在整个for循环里，while里的语句最多执行了n次，所以每一次for循环，while里的语句最多执行了1次。

参考：http://www.matrix67.com/blog/archives/115/